Jendela Pendidikan: Matematika Peluang Lengkap

1) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau . Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1)! Cara cepat mengerjakan soal permutasi

dengan penulisan NPK, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri

Contoh permutasi siklis:

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab:
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu:

2) Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk

setiap himpunan bagian dengan k elemen dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan,

Contoh:
Diketahui himpunan

.
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab: Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi

dengan penulisan Nck, hitung 10C4

kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri

Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6 = 10C4. contoh lainnya
20C5 = 20C15
3C2 = 3C1
100C97 = 100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!

Peluang Matematika

1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka (A) dan gambar (G). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab:
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, agg, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}

2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan ada n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini ada k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P (A) ditentukan dengan rumus:

Contoh:
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n (S) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n (A) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n (S) = n, n (A) = k dan Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.

4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P (A), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah nx P (A).

Contoh:
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab:
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = {1} dan n ( A) sehingga:

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n (S) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n (A) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n - k, sehingga: Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 - P).

Peluang Kejadian Majemuk

1. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B terjadi:

Catatan:

dibaca "Kejadian A atau B dan

dibaca "Kejadian A dan B"

Contoh:
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab:

2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian terjadi

Jika

. Sehingga

Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A | B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika

adalah peluang terjadinya A dan B, maka

Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.

4. Teorema Bayes
Teorema Bayes (1720 - 1763) mengemukakan hubungan antara P (A | B) dengan P (B | A) dalam teorema berikut ini:

5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian - kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik ketika munculnya salah satu tidak dipengaruhi penampilan yang lainnya atau: P (A | B) = P (A ), sehingga:

Sebaran Peluang

1. Pengertian peubah acak dan Sebaran Peluang.
peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y (S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap

dan setiap

maka:

Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut: