Jendela Pendidikan: Hukum Gauss

1. Medan Listrik

Benda yang bermuatan listrik dikelilingi sebuah daerah yang disebut medan listrik. Dalam medan ini, muatan listrik dapat dideteksi. Menurut Faraday (1791-1867), suatu medan listrik keluar dari setiap muatan dan menyebar ke seluruh ruangan, seperti pada Gambar 1.

Gambar 1. Medan listrik mengelilingi setiap muatan, P adalah titik sembarang.

Untuk memvisualisasikan medan listrik, dilakukan dengan menggambarkan serangkaian garis untuk menunjukkan arah medan listrik pada berbagai titik di ruang, yang disebut garis-garis gaya listrik, dan ditunjukkan pada Gambar 2.

Gambar 2. Garis-garis medan listrik (a) untuk satu muatan positif (b) untuk satu muatan negatif.

Gambar 3. menunjukkan garis-garis medan listrik antara dua muatan. Dari gambar terlihat bahwa arah garis medan listrik adalah dari muatan positif ke muatan negatif, dan arah medan pada titik manapun mengarah secara tangensial sebagaimana ditunjukkan oleh anak panah pada titik P.

Gambar 3. Garis-garis medan listrik antara dua muatan (a) Berlawanan jenis (b) Sejenis.

Ukuran kekuatan dari medan listrik pada suatu titik, didefinisikan sebagai gaya per satuan muatan pada muatan listrik yang ditempatkan pada titik tersebut, yang disebut kuat medan listrik (E). Jika gaya listrik F dan muatan adalah q, maka secara matematis kuat medan listrik dirumuskan:

E = F / q ................................................................. (1)

Satuan E adalah newton per coulomb (N/C).

Persamaan (4.4) untuk mengukur medan listrik di semua titik pada ruang, sedangkan medan listrik pada jarak r dari satu muatan titik Q adalah:

atau :

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa E hanya bergantung pada muatan Q yang menghasilkan medan tersebut.

2. Hukum Gauss

Hukum mengenai gaya elektrostatis dikemukakan oleh Charles Augustin de Coulomb dalam Hukum Coulombnya. Kita dapat menyatakan Hukum Coulomb di dalam bentuk lain, yang dinamakan Hukum Gauss, yang dapat digunakan untuk menghitung kuat medan listrik pada kasus-kasus tertentu yang bersifat simetri. Hukum Gauss menyatakan bahwa “jumlah aljabar garis-garis gaya magnet (fluks) listrik yang menembus permukaan tertutup sebanding dengan jumlah aljabar muatan listrik di dalam permukaan tersebut”. Pernyataan tersebut dapat dirumuskan:

N = Σq ............................................................ (4)

3. Fluks Medan Listrik

Fluks medan listrik yang disimbolkan simbolkan Φ_E, dapat dinyatakan oleh jumlah garis yang melalui suatu penampang tegak lurus. Kerapatan fluks listrik pada titik tersebut adalah jumlah per satuan luas pada titik itu. Untuk permukaan tertutup di dalam sebuah medan listrik maka kita akan melihat bahwa Φ_E adalah positif jika garis-garis gaya mengarah ke luar, dan adalah negatif jika garis-garis gaya menuju ke dalam, seperti yang diperlihatkan Gambar 4. Sehingga, Φ_E adalah positif untuk permukaan S₁ dan negatif untuk S₂. Φ_E untuk permukaan S₃ adalah nol.

Dua muatan sama besar dan berlawanan tanda. Garis putus-putus menyatakan perpotongan di antara dua permukaan tertutup hiptetik dengan bidang gambar.

Gambar 4. Dua muatan sama besar dan berlawanan tanda. Garis putus-putus menyatakan perpotongan di antara dua permukaan tertutup hiptetik dengan bidang gambar.

Pada Gambar 5(a) menunjukkan sebuah permukaan tertutup yang dicelupkan di dalam medan listrik tak uniform. Misalnya, permukaan tersebut dibagi menjadi segiempat-segiempat kuadratis ΔS yang cukup kecil, sehingga dianggap sebagai bidang datar. Elemen luas seperti itu dinyatakan sebagai sebuah vektor ΔS , yang besarnya menyatakan luas ΔS . Arah ΔS sebagai normal pada permukaan yang digambarkan ke arah luar. Sebuah vektor medan listrik E digambarkan oleh tiap segiempat kuadratis. Vektor-vektor E dan ΔS membentuk sudut θ terhadap satu sama lain.

Gambar 5. (a) Sebuah permukaan tertutup dicelupkan di dalam medan listrik tak uniform. (b) Tiga elemen luas permukaan tertutup.

Perbesaran segiempat kuadratis dari Gambar 5(b) ditandai dengan x, y, dan z, di mana pada x, θ > 90^o (E menuju ke dalam); pada y, θ = 90^o (E sejajar pada permukaan); dan pada z, θ < 90^o (E menuju ke luar). Sehingga, definisi mengenai fluks adalah:

ΦE ≅ ΣE⋅ΔS ................................................. (5)

Jika E di mana-mana menuju ke luar, θ < 90^o, maka E. ΔS positif (Gambar 4, permukaan S₁). Jika E menuju ke dalam θ > 90^o, E. ΔS akan menjadi negatif, dan Φ_E permukaan akan negatif (Gambar 4, permukaan S₂ . Dengan menggantikan penjumlahan terhadap permukaan (persamaan (5)) dengan sebuah integral terhadap permukaan akan diperoleh:

Φ_E = ∮ E ⋅ dS .......................................................... (6)

Dari persamaan (5), kita dapat menentukan bahwa satuan SI yang sesuai untuk fluks listrik (Φ_E) adalah newton.meter²/coulomb (Nm²/C).

Hubungan antara Φ_E untuk permukaan dan muatan netto q, berdasarkan Hukum Gauss adalah:

∈0 Φ_E = q ........................................................... (7)

dengan menggunakan persamaan (6) diperoleh:

∈∮ E⋅dS = q ........................................................ (8)

Pada persamaan (7), jika sebuah permukaan mencakup muatan-muatan yang sama dan berlawanan tandanya, maka fluks Φ_E adalah nol. Hukum Gauss dapat digunakan untuk menghitung E jika distribusi muatan adalah sedemikian simetris sehingga kita dapat dengan mudah menghitung integral di dalam persamaan (8).

4. Medan Listrik di Dekat Muatan Titik

Sebuah muatan titik q terlihat pada Gambar 6. Medan listrik yang terjadi pada permukaan bola yang jari-jarinya r dan berpusat pada muatan tersebut, dapat ditentukan dengan menggunakan Hukum Gauss.

Gambar 6. Permukaan Gauss berbentuk bola.

Pada gambar tersebut, E dan dS pada setiap titik pada permukaan Gauss diarahkan ke luar di dalam arah radial. Sudut di antara E dan dS adalah nol dan kuantitas E dan dS akan menjadi E.dS saja. Dengan demikian, Hukum Gauss dari persamaan (8) akan menjadi:

∈∮ E⋅dS = ∈0 ∫ E.dS = q

karena E adalah konstan untuk semua titik pada bola, maka E dapat dikeluarkan dari integral, yang akan menghasilkan:

∈₀.E ∮dS = q

dengan integral tersebut menyatakan luas bola, sehingga:

dengan:

$k=\frac{1}{4\pi .\varepsilon _{0}}$

Sehingga besarnya medan listrik E pada setiap titik yang jaraknya r dari sebuah muatan titik q adalah:

5. Medan Listrik di Antara Dua Keping Sejajar

Pada dua keping sejajar yang mempunyai muatan listrik sama, tetapi berlawanan jenisnya, antara kedua keping tersebut terdapat medan listrik homogen. Di luar kedua keping juga terdapat medan listrik yang sangat kecil jika dibandingkan dengan medan listrik di antara kedua keping, sehingga dapat diabaikan, seperti pada Gambar 7.

Gambar 7. Medan litrik di antara dua keping sejajar.

Jika luas keping A, masing-masing keping bermuatan +q dan -q, medan listrik dinyatakan oleh banyaknya -gaya, sedangkan garis-garis gaya dinyatakan sebagai jumlah muatan yang menimbulkan garis gaya tersebut (Hukum Gauss). Muatan listrik tiap satu satuan luas keping penghantar didefinisikan sebagai rapat muatan permukaan diberi lambang σ (sigma), yang diukur dalam C/m².

Sehingga, kuat medan listrik antara kedua keping sejajar adalah:

E = σ / ε₀ ........................................................... (11)

dengan:

E = kuat medan listrik (N/C)

σ = rapat muatan keping (C/m²)

ε₀ = permitivitas ruang hampa = 8,85 × 10^-12 C/Nm²

Contoh Soal 1 :

Bola konduktor dengan jari-jari 10 cm bermuatan listrik 500 μC. Titik A, B, dan C terletak segaris terhadap pusat bola dengan jarak masing-masing 12 cm, 10 cm, dan 8 cm terhadap pusat bola. Hitunglah kuat medan listrik di titik A, B, dan C!

Penyelesaian:

Diketahui:

R = 10 cm = 10^-1 m

r_B = 10 cm = 10^-1 m

q = 500 μC = 5 × 10^-4 C

r_C = 8 cm = 8 × 10^-2 m

r_A = 12 cm = 12 × 10^-2 m

Ditanya:

a. E_A = ... ?

b. E_B = ... ?

c. E_C = ... ?

Pembahasan :

a. Kuat medan listrik di titik A

b. Kuat medan listrik di titik B

c. Kuat medan listrik di titik C

E_C = 0, karena berada di dalam bola, sehingga tidak dipengaruhi muatan listrik.

Contoh Soal 2 :

Sebuah bola kecil bermuatan listrik 10 μC berada di antara keping sejajar P dan Q dengan muatan yang berbeda jenis dengan rapat muatan 1,77 × 10^-8 C/m². Jika g = 10 m/s² dan permitivitas udara adalah 8,85 × 10^-12 C²/Nm², hitung massa bola tersebut!